Realmente não é bem assim.
Vou explicar de maneira bem simples: de fato o ser humano se compõe de corpo, alma e espírito:
O corpo é a parte física, material, que podemos ver, apalpar, sentir, ouvir, cheirar. É composto de elementos que encontramos no solo, maravilhosamente ajustados para se prestarem ao nosso uso.
A alma e o espírito procederam de Deus, e são o que dá vida e consciência ao corpo. A distinção entre alma e espírito não é fácil, portanto não vou entrar nesse assunto aqui. A criação do homem, completo, se acha relatada em Gênesis 2:7 e 21-24.
A morte significa "separação". Existe a morte espiritual, mais importante, que ocorreu no momento em que o primeiro casal, feito por Deus, desobedeceu ao seu único mandamento, que foi o de não comer do fruto da árvore do conhecimento do bem e do mal (Gênesis 2:17, 3:6). Neste instante eles se tornaram rebeldes e perderam a comunhão que gozavam com Deus: morreram espiritualmente assim como toda a sua descendência.
A morte física, natural, ocorre apenas com o corpo, que um dia vai deixar de se prestar ao nosso uso, seja por envelhecimento, enfermidade ou por acidente. Quando o homem foi criado, Deus lhe proveu um alimento especial para conservação permanente do corpo, chamado "o fruto da árvore da vida", mas ao desobedecer, esse alimento lhe foi retirado (Gênesis 3:22).
A alma e o espírito, no entanto, são indestrutíveis e continuam a viver em um ambiente diferente, que chamamos "espiritual", onde se encontram inumeráveis outras criaturas de Deus e lugares especiais de que lemos na Bíblia. Ela nos fala apenas daquilo que nos concerne sobre esse ambiente e, respondendo à sua pergunta, atualmente a alma e o espírito humano vão para um entre dois destes lugares:
A presença de Cristo: Ele está assentado nos céus à direita do trono de Deus (Colossenses 3:1, Hebreus 8:1, 10:12). Para ali vão os que foram "vivificados" em Cristo. Explicando muito resumidamente: como vimos acima, toda a humanidade está morta espiritualmente, separada de Deus. Para ter vida novamente, é preciso que cada indivíduo concorde em receber Cristo como seu Salvador, arrependendo-se e deixando o seu pecado e submetendo-se a Cristo como seu único Senhor. É o que a Bíblia chama de morrer para si e viver para Cristo ou seja, ser "vivificado". O apóstolo Paulo disse que tinha desejo de partir (morrer fisicamente) e estar Cristo, porque para ele isso era muito melhor (Filipenses 1:23).
Um lugar afastado de Deus, à espera do julgamento final: todo aquele que rejeita Cristo, já está condenado (João 3:18). É um lugar de sofrimento, por exemplo, leia em Mateus 8:12, 13:42, 22:13. 25:30, Lucas 16:24. Um dia, haverá um julgamento final de todos os que se encontrarem aqui, e os que não tiverem seus nomes inscritos no "livro da vida" serão lançados no lago de fogo para toda a eternidade (Apocalipse 20:15).